Para Juan José · conjuntos numéricos
Piensa en los números como en una ciudad: cada uno tiene su casa y su barrio. Unos viven en los escalones de contar, otros entre escalón y escalón, otros en huecos secretos, y unos pocos viven fuera del mapa. Aquí vas a conocerlos a todos. Y lo mejor: no tienes que dibujar nada. Tú tocas, y la página dibuja por ti. Si te equivocas en un juego, mejor todavía: cada error viene con su explicación.
Esto es √2 llegando a su sitio exacto. Un triángulo de catetos 1 y 1, su hipotenusa, y un arco de compás que baja esa medida hasta la recta. La página es tu regla y tu compás: tú decides, ella traza. Tócala para verla otra vez.
Las familias de números son como muñecas rusas: cajas metidas una dentro de otra. Y detrás hay una historia con lógica: cada vez que apareció un problema que una caja no podía resolver, alguien inventó una caja más grande. Eso es todo el tema. En serio, eso es todo.
Mira la cadena de problemas. Contar tus cosas: naturales. ¿Tienes 3 y gastas 5? Necesitas deber 2: enteros. ¿Repartir 1 chocolate entre 3 amigos? Ese número no está en ninguna caja anterior: racionales. ¿Medir la diagonal de un cuadrado de lado 1? Ninguna fracción da la talla: irracionales. Junta fracciones e irracionales y la recta queda completamente llena: reales. ¿Y un número que multiplicado por sí mismo dé −1? Toca salirse de la recta: complejos.
El mapa: cada caja dentro de la siguiente
Los de contar cosas. Los primeros que aprendiste en la vida. Empiezan en 0 (algunos libros arrancan en 1) y no se acaban nunca.
0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Los naturales y sus espejos negativos. Sirven para deber plata, para los pisos de sótano, para los grados bajo cero. Ojo: entre un escalón y el siguiente sigue sin haber nada.
..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...
Los repartos: todo lo que se puede escribir como fracción a/b de enteros. Su decimal siempre termina, o entra en un bucle que se repite igual para siempre.
3/4 = 0,75
1/3 = 0,333...
7 = 7/1
Los rebeldes: ninguna fracción los alcanza. Sus decimales siguen para siempre y jamás repiten un patrón. Viven en los huecos secretos que dejan las fracciones.
√2 = 1,41421356...
π = 3,14159265...
e = 2,71828182...
Todos los anteriores juntos: la recta completa, sin un solo hueco. Si puedes señalar un punto de la recta, eso es un número real.
R = Q ∪ I
Q ∩ I = ∅
Los que viven fuera de la recta. Nacen cuando pides la raíz de un negativo: se inventa i = √−1 y se abre un piso nuevo hacia arriba.
i, −i, 2i
3 + 2i
√−4 = 2i
Trampa uno: tener infinitos decimales no hace irracional a un número. 1/3 = 0,333... tiene infinitos y es una fracción de toda la vida. La pregunta correcta es: ¿se repite un patrón? Si se repite, hay una fracción escondida detrás: racional. Si nunca jamás se repite: irracional.
Trampa dos: no toda raíz es irracional. √9 = 3 y √16 = 4, sin misterio. La raíz solo es irracional cuando el número de adentro no es un cuadrado perfecto (los cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25...).
Toca un número y la página te dice en qué cajas vive, por qué, y dónde cae en la recta. Hay trampas metidas a propósito: √9, 22/7 y −√16 parecen una cosa y son otra. Y cuando ya te sientas seguro, cambia a Ponme a prueba: marcas tú las cajas primero, y la página te corrige.
Elige un número
¿Cómo puede alguien estar seguro de que ninguna fracción del universo vale √2, si hay infinitas fracciones? Con un truco de detective: suponemos que la fracción culpable sí existe, le seguimos la pista, y vemos cómo su propia historia se contradice sola. Son seis pasos y se siguen de cabeza, sin escribir nada.
Pero antes, intenta cazar a √2 con la calculadora: 1,4² = 1,96 (le falta), 1,42² = 2,0164 (se pasa), 1,414² = 1,999396 (casi, pero no). Puedes seguir mil años: nunca da 2 exacto. Sospechoso, ¿verdad? Aquí está el caso:
El mismo argumento funciona con √3, √5, √6, √7... y falla justo cuando el número es un cuadrado perfecto, que es exactamente cuando la raíz sí es entera.
Y aquí viene lo bueno: que no exista la fracción no significa que no exista el número. Un cuadrado de lado 1 tiene una diagonal de verdad: la puedes tocar, mide algo. Ese algo es √2, y tiene su punto exacto en la recta, entre 1,41 y 1,42. En la siguiente sección lo vas a llevar hasta ahí con precisión perfecta, sin redondear nada.
Aquí está el truco estrella, con dos ideas. Idea uno, Pitágoras: en un triángulo con esquina recta, el lado largo (la hipotenusa) mide √(cateto² + cateto²). Si eliges bien los dos catetos, ese lado largo mide justo la raíz que quieres. Idea dos, el compás: es como un brazo que no cambia de tamaño. Agarra una distancia y la suelta donde quieras, idéntica. Con él, la hipotenusa se tumba sobre la recta y marca el punto exacto.
Ejemplo con √5: catetos 2 y 1, porque 2² + 1² = 5. ¿Y si no existen dos enteros que funcionen? Se juega en cadena: la raíz anterior, que ya está marcada en la recta, se usa como cateto con altura 1. Así √5 fabrica a √6, y √6 fabrica a √7. Ninguna raíz se escapa.
Este es exactamente el método del video de Matemáticas profe Alex: allá se hace con lápiz, regla y compás de verdad. Aquí la página hace los mismos trazos por ti, paso a paso.
Elige la raíz y mira la construcción
1. Se marca el cateto horizontal sobre la recta, desde el 0. 2. Desde ese punto se levanta una línea recta hacia arriba, en ángulo recto, con la altura que toque. 3. Se une el 0 con la punta de arriba: ese lado largo (la hipotenusa) mide exactamente √n, ni un decimal de más. 4. El arco de compás, con centro en el 0 y radio igual a esa hipotenusa, baja la medida hasta la recta. 5. Donde el arco corta la recta está √n, exacto.
Fíjate en los números en azul del teclado: 4, 9 y 16 son cuadrados perfectos. Ahí no hay nada que construir, porque la raíz ya es un entero que está marcado en la recta desde el principio.
Ahora tú: el compás en el cuaderno
Sí, con compás de verdad. Son pocos y con truco: la cuadrícula del cuaderno hace la mitad del trabajo. Usa 2 cuadritos como unidad, y el ángulo recto te lo regalan las líneas del cuaderno. Si el trazo sale tembloroso, no importa nada: el compás no se entera, y lo que se califica aquí es el método. Cuando termines cada uno, elige la misma raíz en el taller de arriba y compara: la página es tu corrector.
Sigue la cadena sin bajar arcos: sobre la punta de cada lado largo nuevo, dibuja un cateto de 1 en ángulo recto y une con el 0. Van saliendo √2, √3, √4, √5... y el dibujo se enrosca en una espiral famosa. Queda tan bonita que hay gente que se la tatúa.
En los cuatro ejercicios hiciste lo mismo: cateto en la recta, subir 1, unir con 0, bajar el arco. Una sola jugada, repetida. Así funciona la buena matemática: un truco bueno vale por cien.
El arco del compás siempre aterriza en la recta: por eso todo número real tiene su punto. Pero ahora pide √−4: un número que multiplicado por sí mismo dé −4. Haz la prueba mental: positivo por positivo da positivo. Negativo por negativo, también positivo. No hay forma. Y no es que te falte puntería: es que la recta se quedó pequeña.
La salida fue una genialidad: inventar una unidad nueva, i, con una sola regla, i² = −1, y regalarle su propio eje hacia arriba, perpendicular a la recta de siempre. Con eso √−4 = √4 · √−1 = 2i, y ese número sí tiene casa: dos unidades hacia arriba. Un complejo se escribe a + bi: la a dice cuánto caminas por la recta, y la b cuánto subes.
El plano complejo
Los reales no desaparecen: son los complejos que tienen b = 0, es decir, toda la recta horizontal. Por eso en el clasificador todos los números encienden la casilla C. La caja grande contiene a la pequeña, siempre.
Regla práctica para raíces de negativos: saca el signo primero. √−9 = 3i, √−25 = 5i, √−7 = √7 · i, que además es irracional multiplicado por i.
Cinco juegos, todos de tocar: puntería sobre la recta, racional o irracional al toque, catetos para fabricar raíces, verdadero o falso contra los mitos, y el examen final. Cada respuesta trae su explicación, así que aquí equivocarse también enseña.
Juego 1 · Caza el punto
Juego 2 · ¿Racional o irracional?
Juego 3 · Los catetos de la raíz
Juego 4 · Verdadero o falso
Juego 5 · El examen final
Si tuvieras que quedarte con seis frases, estas seis.
Termina o se repite en ciclo, hay fracción detrás: es racional. No termina y nunca se repite: es irracional.
√n es entera si n es cuadrado perfecto (1, 4, 9, 16, 25...). En cualquier otro caso es irracional.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Un natural es a la vez entero, racional, real y complejo. Nunca al revés.
Ningún número es racional e irracional a la vez, pero juntos forman R sin dejar un solo hueco.
Catetos a y b dan hipotenusa √(a²+b²). Elige a y b para que esa suma sea el número que buscas, y baja el arco con el compás.
√−n = √n · i. No está en la recta: sube por el eje imaginario. Ahí empieza C.